מתמטיקה של פוקר
עודכן בתאריך · מאת אייל "קסיאס" אשכר · 10 דקות קריאה
EV (Expected Value, תוחלת רווח) הוא הרווח או ההפסד הממוצע של החלטה אם הייתם חוזרים עליה אינסוף פעמים. הנוסחה: EV = (סיכוי לנצח × הסכום שזוכים בו) פחות (סיכוי להפסיד × הסכום שמסכנים). החלטה עם EV חיובי משתלמת לאורך זמן גם אם ביד בודדת היא מפסידה – וזה ההבדל המרכזי בין שחקן שמנחש לשחקן שמחשב.
EV הוא התשובה לשאלה אחת: כמה ההחלטה הזאת שווה בממוצע. לא ביד הנוכחית, לא הערב – בממוצע, על פני אלפי חזרות של אותו מצב בדיוק.
דמיינו הטלת מטבע הוגן: אם תקבלו 2 שקלים על עץ ותשלמו שקל אחד על פלי, התוחלת שלכם היא 0.5 שקל להטלה. תוכלו להפסיד שלוש הטלות ברצף – וההימור עדיין מצוין. פוקר עובד בדיוק כך, רק שההסתברויות מגיעות מהקלפים.
ביל צ'ן וג'רולד אנקנמן, בספר The Mathematics of Poker, ניסחו את העיקרון: המטרה אינה לזכות בקופה מסוימת אלא לקבל שוב ושוב החלטות בעלות תוחלת חיובית. הקופות מתחלקות מעצמן בהתאם.
הנוסחה המלאה: EV = (הסתברות לנצח × הסכום שתזכו בו) − (הסתברות להפסיד × הסכום שאתם מסכנים). שני מרכיבים בלבד – מה קורה כשטוב לכם ומה קורה כשרע לכם, כל אחד משוקלל בהסתברות שלו.
כשהתוצאה חיובית ההחלטה מרוויחה בממוצע; כשהיא שלילית – מפסידה בממוצע. אפס הוא נקודת איזון.
בקופה 100, היריב מהמר 50, ולכם דראו לפלאש בפלופ עם כ-35% להשלים עד הריבר. אתם משלמים 50 כדי לזכות ב-150 (הקופה + ההימור).
החישוב: EV = (0.35 × 150) − (0.65 × 50) = 52.5 − 32.5 = 20+. הקול מרוויח בממוצע 20 על כל חזרה של המצב – החלטה נכונה גם אם הפעם הפלאש לא יגיע.
אותו דראו בטרן נראה אחרת: נשאר קלף אחד וההסתברות יורדת לכ-19.6%. מול הימור 100 לקופה של 100: EV = (0.196 × 200) − (0.804 × 100) = 39.2 − 80.4 = 41.2−. אותה יד, רחוב אחר – ההחלטה מתהפכת.
| מצב | הסתברות לנצח | זוכים | מסכנים | EV |
|---|---|---|---|---|
| דראו לפלאש בפלופ מול הימור חצי קופה | 35% | 150 | 50 | 20+ |
| דראו לפלאש בטרן מול הימור בגודל קופה | 19.6% | 200 | 100 | 41.2− |
| גאטשוט בטרן (8.7%) מול הימור חצי קופה | 8.7% | 150 | 50 | 32.6− |
| דראו משולב 15 אאוטים בפלופ מול הימור קופה | 54.1% | 200 | 100 | 62.3+ |
גם הימור בלי יד מחושב באותה נוסחה, רק שההסתברות כאן היא הסיכוי שהיריב יקפל. הנוסחה: EV = (אחוז הקיפולים × הקופה) − (אחוז הקולים × גודל הבלאף).
בלאף של 50 לקופה של 100 מתאזן כשהיריב מקפל 33.3% מהזמן: (0.333 × 100) − (0.667 × 50) ≈ 0. כל קיפול מעבר לכך הוא רווח נקי. בלאף בגודל קופה מלאה כבר דורש יותר מ-50% קיפולים.
זו הסיבה שסולברים כמו PioSolver בוחרים גדלים שונים לבלאפים שונים – המחיר של הבלאף קובע כמה פעמים הוא חייב לעבוד.
ויש תוספת חשובה: בסמי-בלאף, כשיש לכם גם דראו, שני מקורות התוחלת מצטברים – הקיפולים של היריב ועוד האקוויטי שלכם כשהוא משלם. לכן דראו לפלאש שמהמר יכול להיות רווחי גם כשכל אחד מהמרכיבים לבדו אינו מספיק. זו הסיבה שסמי-בלאפים הם עמוד השדרה של משחק אגרסיבי נכון: הם כמעט אף פעם לא טעות גדולה, כי תמיד יש להם דרך שנייה לנצח.
התשובה הקצרה: כי תוחלת נמדדת על פני אלפי ידיים, ותוצאה בודדת היא מדגם של אחת. זוג אסים מול זוג מלכים בכל הכסף עוד לפני שהפלופ נפתח הוא פייבוריט של כ-82% – ועדיין מפסיד כמעט אחת לחמש פעמים.
שחקנים שמודדים את עצמם לפי תוצאות מחליפים אסטרטגיה טובה בגלל ערב רע, או מתאהבים במהלך גרוע שהצליח פעם. שחקנים שמודדים לפי EV שואלים רק: האם החישוב היה נכון ברגע ההחלטה.
הפער בין תוחלת לתוצאה בטווח הקצר הוא בדיוק הנושא של שונות ודאונסווינגים – מומלץ לקרוא את המאמר הייעודי בנושא אחרי מאמר זה.
פוט אודס הם דרך מהירה להגיע לאותה תשובה בלי נוסחה מלאה: גודל ההימור קובע כמה אקוויטי מינימלי נדרש כדי שהקול יהיה בעל תוחלת חיובית. הימור חצי קופה דורש 25%, הימור בגודל קופה מלאה – 33.3%.
אם האקוויטי שלכם גבוה מהסף – ה-EV של הקול חיובי; אם נמוך – שלילי. פוט אודס הם בעצם חישוב EV מקוצר שמותאם לקצב של שולחן אמיתי.
המדריך המלא לפוט אודס ואאוטים – כולל טבלאות אחוזים מדויקות
מתחילים מחוץ לשולחן: קחו ידיים ששיחקתם וחשבו את התוחלת של כל החלטה בדיעבד, עם מספרים אמיתיים. אחרי כמה עשרות ניתוחים המצבים הנפוצים נהיים אוטומטיים.
ההרגל הזה הוא הבסיס לכל השאר – קומבינטוריקה, טווחים וניהול בנקרול נשענים כולם על היכולת לתרגם מצב לתוחלת.
הטעות הראשונה והנפוצה ביותר היא לשפוט החלטה לפי התוצאה שלה. שילמתם עם דראו לפלאש בתוחלת חיובית, הפלאש לא הגיע, ולמחרת אתם מקפלים את אותו מצב בדיוק – זו לא למידה, זו רגישות לרעש. ההחלטה הראשונה הייתה נכונה, והשנייה היא הטעות.
הטעות השנייה היא לחשב תוחלת עם מספרים אופטימיים. שחקנים נוטים לנפח את האקוויטי שלהם – לספור אאוטים שלא באמת נקיים, או להניח שהיריב מקפל יותר ממה שהוא מקפל בפועל. חישוב מדויק עם הנחות שגויות גרוע מהערכה גסה עם הנחות כנות.
הטעות השלישית עדינה יותר: להתייחס לתוחלת כאל תכונה של היד במקום של ההחלטה. אין יד עם EV חיובי – יש קול, הימור או קיפול עם EV חיובי בהקשר מסוים, מול יריב מסוים, בגודל קופה מסוים. אותם קלפים בדיוק יכולים להצדיק שלוש החלטות שונות בשלושה מצבים שונים.
חשיבת EV לא נגמרת בקלפים. גם הבחירות סביב המשחק הן החלטות עם תוחלת: באיזה לימיט לשבת, מתי לסיים סשן, ואיזה שולחן לבחור.
בחירת שולחן היא אולי ההחלטה בעלת התוחלת הגבוהה ביותר בערב שלם: אותו שחקן בדיוק, עם אותן יכולות, מייצר תוצאות שונות לגמרי מול שולחן חלש לעומת שולחן קשוח. שעה מול יריבים שמשלמים יותר מדי שווה יותר משלוש שעות מול מקצוענים – וזה חישוב תוחלת לכל דבר.
אותו היגיון חל על מצב אישי: משחק עייף, כועס או לחוץ מוריד את איכות ההחלטות, כלומר מוריד את התוחלת של כל יד שתשחקו. ההחלטה לקום מהשולחן ברגע הנכון היא לעיתים קרובות ההחלטה עם ה-EV הגבוה ביותר של הערב – גם אם היא מרגישה כמו ויתור.
EV (תוחלת רווח) הוא הרווח או ההפסד הממוצע של החלטה אם חוזרים עליה פעמים רבות. מחשבים אותו כך: הסתברות לנצח כפול הסכום שזוכים בו, פחות הסתברות להפסיד כפול הסכום שמסכנים.
מכפילים את האקוויטי בסכום שאפשר לזכות בו (קופה + הימור היריב) ומחסירים את מכפלת סיכוי ההפסד בסכום התשלום. דוגמה: 35% אקוויטי מול הימור 50 לקופה של 100 נותן תוחלת של 20+ לקול.
כן, ולעיתים קרובות. תוחלת חיובית מבטיחה רווח ממוצע לאורך אלפי חזרות, לא ביד בודדת. זוג אסים מול זוג מלכים מפסיד כמעט 18% מהפעמים – וההחלטה להכניס את הכסף עדיין נכונה.
פוט אודס הם קיצור דרך לחישוב EV של קול: הם מתרגמים את גודל ההימור לסף אקוויטי מינימלי. אם האקוויטי שלכם מעל הסף, ה-EV חיובי. הנוסחה המלאה גמישה יותר ומתאימה גם לבלאפים ולהימורי ערך.
לפי גודלו ביחס לקופה: בלאף חצי קופה צריך לעבוד ביותר מ-33.3% מהמקרים, בלאף שני שלישים – יותר מ-40%, ובלאף בגודל קופה מלאה – יותר מ-50%. זה חישוב EV שבו המשתנה הוא תדירות הקיפול של היריב.